Question

函數(shù)f（θ）=sin2θ+2（sinθ+cosθ）+3（θ∈R）的值域為

 

．

Answer 1

分析：利用倍角公式和換元法，可將求函數(shù)f（θ）=sin2θ+2（sinθ+cosθ）+3（θ∈R）的值域，轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)在定區(qū)間上的值域問題，進而利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)進行解答．

解答：解：f（θ）=sin2θ+2（sinθ+cosθ）+3
=sin²θ+cos²θ+2sinθ•cosθ+2（sinθ+cosθ）+2
=（sinθ+cosθ）²+2（sinθ+cosθ）+2
令t=sinθ+cosθ=

2

sin（θ+

π

4

），則t∈[-

2

，

2

]
則y=f（θ）=t²+2t+2，t∈[-

2

，

2

]
∵y=t²+2t+2的圖象是開口朝上，且以直線t=-1為對稱軸的拋物線
故當t=-1時，函數(shù)y=f（θ）=t²+2t+2取最小值1；
當t=

2

時，函數(shù)y=f（θ）=t²+2t+2取最大值4+2

2

；
故函數(shù)的值域為[1，4+2

2

]
故答案為：[1，4+2

2

]

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的值域，和差角公式，二倍角公式，是二次函數(shù)和三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，難度中檔．