Question

已知動圓過定點(,0),且與直線x=-相切,其中p＞0.

    (1)求動圓圓心P的軌跡C的方程;

    (2)設A、B是軌跡C上異于原點O的兩個不同點,直線OA和OB的傾斜角分別為α和β,當α、β變化且α+β為定值θ(0＜θ＜π)時,證明直線AB恒過定點,并求出該定點的坐標.

Answer 1

思路分析:(1)動點P的軌跡滿足拋物線定義易求;

(2)緊緊抓住θ為定值,tanθ=tan(α+β)=,而tanα、tanβ都可用y₁,y₂,x₁,x₂表達,可結合韋達定理.但上述變形需有前提θ≠.否則,先行驗證.

(1)解:作圖易知,動圓圓心P到定點(,0)與到定直線x=-距離相等.

∴動點P的軌跡是拋物線,方程為y²=2px.

(2)證明:設A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),則x₁=,x₂=(x₁≠x₂,否則α+β=π,且x₁·x₂≠0)

設BA:y=kx+b,代入拋物線C的方程,則ky²-2py+2pb=0.

由韋達定理:y₁+y₂=,y₁y₂=.             (*)

①當θ=α+β=時,tanα·tanβ=1,

∴=1.∴0=x₁x₂-y₁y₂=-y₁y₂,

解得y₁y₂=4p²,結合(*)式得b=2pk.

∴AB:y=kx+2pk,

即y=k(x+2p),

∴直線恒過定點(-2p,0).

②當θ≠時,tanθ=.

把(*)式代入整理,化簡得

tanθ=,∴b=+2pk.

此時AB:y=kx++2pk,

即y-=k(x+2p),

∴直線恒過定點(-2p,).

總之,當θ=時,直線AB恒過定點?(-2p,0),當θ≠且θ∈(0,π)時,直線AB恒過定點(-2p,).