Question

10．已知點(diǎn)P（2，$\frac{\sqrt{5}}{5}$）是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)，且點(diǎn)P在x軸上的射影恰好是橢圓C的焦點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）如圖，過點(diǎn)M（0，m）（m＞0）的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，在直線y=-m上存在點(diǎn)N，使△NAB為正三角形，求m的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意求得c，再把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入橢圓方程，結(jié)合隱含條件求出a²=5，b²=1，則橢圓方程可求；
（2）由題意可知，直線l的斜率存在，設(shè)出直線l的方程，和橢圓方程聯(lián)立，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得AB中點(diǎn)的坐標(biāo)，得到AB的垂直平分線方程，進(jìn)一步求出N的坐標(biāo)，由弦長公式求出AB的長度，由點(diǎn)到直線的距離公式求出N到AB所在直線的距離，結(jié)合正三角形中邊的關(guān)系列式，化簡后得到關(guān)于k²的二次方程，進(jìn)一步由判別式大于等于求出m的范圍，且驗(yàn)證后滿足k存在，從而求出m的最大值．

解答 解：（1）由題意可得，c=2，且$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{1}{5^{2}}=1$，
又a²=b²+c²，解得：a²=5，b²=1．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{5}+{y}^{2}=1$；
（2）由題意可設(shè)A、B所在直線方程為y=kx+m，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{5}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（5k²+1）x²+10kmx+5m²-5=0．
則△=100k²m²-4（5k²+1）（5m²-5）=20（5k²-m²+1）＞0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{10km}{5{k}^{2}+1}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{5{m}^{2}-5}{5{k}^{2}+1}$．
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=$-\frac{10{k}^{2}m}{5{k}^{2}+1}+2m=\frac{2m}{5{k}^{2}+1}$．
∴AB的垂直平分線方程為：y-$\frac{m}{5{k}^{2}+1}$=$-\frac{1}{k}（x+\frac{5km}{5{k}^{2}+1}）$，
取y=-m，得x=$\frac{5{k}^{3}m-3km}{5{k}^{2}+1}$．
∴N（$\frac{5{k}^{3}m-3km}{5{k}^{2}+1}$，-m），
則N到直線kx-y+m=0的距離為$\frac{|\frac{5{k}^{4}m-3{k}^{2}m}{5{k}^{2}+1}+2m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{5{k}^{4}m+7{k}^{2}m+2m}{（5{k}^{2}+1）\sqrt{{k}^{2}+1}}$．
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{\frac{100{k}^{2}{m}^{2}}{（5{k}^{2}+1）^{2}}-\frac{20{m}^{2}-20}{5{k}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{20（5{k}^{2}-{m}^{2}+1）}}{5{k}^{2}+1}$．
由$\frac{5{k}^{4}m+7{k}^{2}m+2m}{（5{k}^{2}+1）\sqrt{{k}^{2}+1}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{20（5{k}^{2}-{m}^{2}+1）}}{5{k}^{2}+1}$，
得$（5{k}^{2}+2）m=\sqrt{15（5{k}^{2}-{m}^{2}+1）}$．
兩邊平方并整理得：25m²k⁴+（20m²-75）k²+19m²-15=0．
令k²=t（t≥0），
則方程化為25m²t²+（20m²-75）t+19m²-15=0．
要使該方程有實(shí)數(shù)根，則△=（20m²-75）²-100m²（19m²-15）≥0，
整理并解得：$0≤{m}^{2}≤\frac{3}{2}$．
當(dāng)${m}^{2}=\frac{3}{2}$時(shí)，19m²-15＞0，此時(shí)方程25m²t²+（20m²-75）t+19m²-15=0有非負(fù)實(shí)數(shù)根．
∴k²有正解，即k存在．
由$0≤{m}^{2}≤\frac{3}{2}$，得$-\frac{\sqrt{6}}{2}≤m≤\frac{\sqrt{6}}{2}$．
∴m的最大值為$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法，考查了直線和圓錐曲線間的關(guān)系，涉及直線和圓錐曲線間的關(guān)系問題，常采用聯(lián)立直線方程和圓錐曲線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解，該題著重考查了計(jì)算能力，屬難度較大的題目．