Question

14．函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$，x∈R）的部分圖象如圖所示，則函數(shù)表達式為（　�。�

• A． y=-4sin（$\frac{π}{8}$x-$\frac{π}{4}$）
• B． y=-4sin（$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{4}$）
• C． y=4sin（$\frac{π}{8}$x-$\frac{π}{4}$）
• D． y=4sin（$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{4}$）

Answer 1

分析 方法一：由題意求得A，由T=16，ω=$\frac{2π}{T}$=$\frac{π}{8}$，將（6，0）代入方程根據(jù)誘導公式及|φ|＜$\frac{π}{2}$，即可求得φ的值，即可求得函數(shù)表達式；
方法二：觀察函數(shù)的圖象可得，函數(shù)的最小值-4，且在一周期內(nèi)先出現(xiàn)最小值，所以A=-4，由圖可得周期T=16，代入周期公式T=$\frac{2π}{ω}$可求ω；再把函數(shù)圖象上的最值點代入結(jié)合已知φ的范圍可得φ的值

解答 解：方法一：由函數(shù)的最大值為4，則丨A丨=4，
由$\frac{T}{2}$=6-（-2）=8，則T=16，
ω=$\frac{2π}{T}$=$\frac{π}{8}$，
∴y=4sin（$\frac{π}{8}$x+φ），
由圖象過（6，0），則sin（$\frac{π}{8}$×6+φ）=0，即$\frac{π}{8}$×6+φ=2kπ，k∈Z，
∴φ=2kπ-$\frac{3}{4}$，φ=2kπ-$\frac{3}{4}$，則y=4sin（$\frac{π}{8}$x+2kπ-$\frac{3}{4}$）
=-4sin（π+（$\frac{π}{8}$x-$\frac{3}{4}$+2kπ））=-4sin（$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{4}$+2kπ），
當k=0時，φ=$\frac{π}{4}$，滿足|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴函數(shù)的解析式y(tǒng)=-4sin（$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{4}$），
故選B．
方法二：若A＞0，由圖象可知Asin（ωx+φ）在x=2，結(jié)合條件ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$，x∈R，不成立．
由函數(shù)的圖象可得最大值為4，且在一周期內(nèi)先出現(xiàn)最小值，
所以A=-4．
觀察圖象可得函數(shù)的周期T=16，ω=$\frac{2π}{T}$=$\frac{π}{8}$，
又函數(shù)的圖象過（2，-4），代入可得sin（$\frac{π}{4}$+φ）=1
∴φ+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{4}$，
∴函數(shù)的解析式y(tǒng)=-4sin（$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{4}$），
故選B．

點評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，屬于基礎題．