Question

18．設函數(shù)f（x）=9^x+m•3^x，若存在實數(shù)x₀，使得f（-x₀）=-f（x₀）成立，則實數(shù)m的取值范圍是（-∞，-1]．

Answer 1

分析 構造函數(shù)t=3^x0+3^-x₀，t≥2，則m=-t+$\frac{2}{t}$（t≥2），利用其單調(diào)性可求得m的最大值，從而可得實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：∵f（-x₀）=-f（x₀），
∴${9}^{{-x}_{0}}$+m•${3}^{{-x}_{0}}$=-${9}^{{x}_{0}}$-m•${3}^{{x}_{0}}$，
∴m=-（${3}^{{x}_{0}}$+${3}^{{-x}_{0}}$）+$\frac{2}{{3}^{{x}_{0}}{+3}^{{-x}_{0}}}$，
令t=${3}^{{x}_{0}}$+${3}^{{-x}_{0}}$，則t≥2，
故m=-t+$\frac{2}{t}$，（t≥2），
函數(shù)y=-t與函數(shù)y=$\frac{2}{t}$在[2，+∞）上均為單調(diào)遞減函數(shù)，
∴m=-t+$\frac{2}{t}$（t≥2）在[2，+∞）上單調(diào)遞減，
∴當t=2時，m=-t+$\frac{2}{t}$（t≥2）取得最大值-1，即m≤-1，
故答案為：（-∞，-1]．

點評 本題考查指數(shù)型復合函數(shù)的性質(zhì)及應用，求得分離出參數(shù)m是關鍵，也是難點，考查構造函數(shù)思想，考查雙鉤函數(shù)的性質(zhì)與綜合運算能力．