Question

14．已知命題p：?x₀∈[1，3]，x₀-lnx₀＜m；命題q：?x∈R，x²+2＞m²
（1）若（￢p）∧q為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 先求出關(guān)于p，q為真時(shí)的m的范圍，（1）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為p假q真，得到不等式組，解出m的范圍即可；（2）通過(guò)討論p真q假、p假q真的情況，從而求出m的范圍．

解答 解：由命題p：?x₀∈[1，3]，x₀-lnx₀＜m，
得：m＞（x-lnx）_min，
令f（x）=x-lnx，f′（x）=1-$\frac{1}{x}$≥0在[1，3]恒成立，
∴f（x）在[1，3]遞增，
∴f（x）_min=f（1）=1，
∴p為真時(shí)：m＞1；
命題q：?x∈R，x²+2＞m²，
∴m²＜（x²+2）_min=2，
∴q為真時(shí)：-$\sqrt{2}$＜m＜$\sqrt{2}$，
（1）若（￢p）∧q為真命題，則p假q真，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m≤1}\\{-\sqrt{2}＜m＜\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
解得：-$\sqrt{2}$＜m≤1；
（2）若p∨q為真命題，p∧q為假命題，則p，q一真一假，
p真q假時(shí)：$\left\{\begin{array}{l}{m＞1}\\{m≥\sqrt{2}或m≤-\sqrt{2}}\end{array}\right.$，解得：m≥$\sqrt{2}$，
p假q真時(shí)：由（1）得：-$\sqrt{2}$＜m≤1；
故m的范圍是（-$\sqrt{2}$，1]∪[$\sqrt{2}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)合命題問(wèn)題，考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，是一道中檔題．