Question

已知函數(shù)f（x）=x²+alnx的圖象在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線斜率為10．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）判斷方程f（x）=2x根的個(gè)數(shù)，證明你的結(jié)論；
（Ⅲ）探究：是否存在這樣的點(diǎn)A（t，f（t）），使得曲線y=f（x）在該點(diǎn)附近的左、右的兩部分分別位于曲線在該點(diǎn)處切線的兩側(cè)？若存在，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

解法一：（Ⅰ）因?yàn)閒（x）=x²+alnx，所以f′(x)=2x+

a

x

，
函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線斜率k=f'（1）=2+a．
由2+a=10得：a=8．              …（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=x²+8lnx，令F（x）=f（x）-2x=x²-2x+8lnx．
因?yàn)镕（1）=-1＜0，F(xiàn)（2）=8ln2＞0，所以F（x）=0在（0，+∞）至少有一個(gè)根．
又因?yàn)?span dealflag="1" mathtag="math" >F′(x)=2x-2+

8

x

≥2

16

-2=6＞0，所以F（x）在（0，+∞）上遞增，
所以函數(shù)F（x）在（0，+∞）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即方程f（x）=2x有且只有一
個(gè)實(shí)根．                 …（7分）
（Ⅲ）證明如下：
由f（x）=x²+8lnx，f′(x)=2x+

8

x

，可求得曲線y=f（x）在點(diǎn)A處的切
線方程為y-(t2+8lnt)=(2t+

8

t

)(x-t)，
即y=(2t+

8

t

)x-t2+8lnt-8（x＞0）．            …（8分）
記h（x）=x²+8lnx-[(2t+

8

t

)x-t2+8lnt-8]=x²+8lnx-(2t+

8

t

)x+t2-8lnt+8（x＞0），
則h′(x)=2x+

8

x

-(2t+

8

t

)=

2(x-t)(x- 4 t )

x

．      …（11分）
（1）當(dāng)t=

4

t

，即t=2時(shí)，h′(x)=

2(x-2)2

x

≥0對(duì)一切x∈（0．+∞）成立，
所以h（x）在（0，+∞）上遞增．
又h（t）=0，所以當(dāng)x∈（0，2）時(shí)h（x）＜0，當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)h（x）＞0，
即存在點(diǎn)A（2，4+8ln2），使得曲線在點(diǎn)A附近的左、右兩部分分別位于曲線
在該點(diǎn)處切線的兩側(cè)．           …（12分）
（2）當(dāng)t＞

4

t

，即t＞2時(shí)，x∈(0，

4

t

)時(shí)，h'（x）＞0；x∈(

4

t

，t)時(shí)，h'（x）＜0；x∈（t，+∞）時(shí)，h'（x）＞0．
故h（x）在(

4

t

，t)上單調(diào)遞減，在（t，+∞）上單調(diào)遞增．
又h（t）=0，所以當(dāng)x∈(

4

t

，t)時(shí)，h（x）＞0；當(dāng)x∈（t，+∞）時(shí)，h（x）＞0，
即曲線在點(diǎn)A（t，f（t））附近的左、右兩部分都位于曲線在該點(diǎn)處切線的
同側(cè)．                           …（13分）
（3）當(dāng)t＜

4

t

，即0＜t＜2時(shí)，x∈（0，t）時(shí)，h'（x）＞0；x∈(t，

4

t

)時(shí)，h'（x）＜0；x∈(

4

t

，+∞)時(shí)，h'（x）＞0．
故h（x）在（0，t）上單調(diào)遞增，在(t，

4

t

)上單調(diào)遞減．
又h（t）=0，所以當(dāng)x∈（0，t）時(shí)，h（x）＜0；當(dāng)x∈(t，

4

t

)時(shí)，h（x）＜0，
即曲線在點(diǎn)A（t，f（t））附近的左、右兩部分都位于曲線在該點(diǎn)處切線的同側(cè)．
綜上，存在唯一點(diǎn)A（2，4+8ln2）使得曲線在點(diǎn)A附近的左、右兩部分分別
位于曲線在該點(diǎn)處切線的兩側(cè)．                    …（14分）
解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一；
（Ⅲ）證明如下：
由f（x）=x²+8lnx，f′(x)=2x+

8

x

，可求得曲線y=f（x）在點(diǎn)A處的切
線方程為y-(t2+8lnt)=(2t+

8

t

)(x-t)，
即y=(2t+

8

t

)x-t2+8lnt-8（x＞0）．           …（8分）
記h（x）=x²+8lnx-[(2t+

8

t

)x-t2+8lnt-8]=x²+8lnx-(2t+

8

t

)x+t2-8lnt+8（x＞0），
則h′(x)=2x+

8

x

-(2t+

8

t

)=

2(x-t)(x- 4 t )

x

．   …（11分）
若存在這樣的點(diǎn)A（t，f（t）），使得曲線y=f（x）在該點(diǎn)附近的左、右兩部分都
位于曲線在該點(diǎn)處切線的兩側(cè)，則問(wèn)題等價(jià)于t不是極值點(diǎn)，
由二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)且僅當(dāng)t=

4

t

，即t=2時(shí)，t不是極值點(diǎn)，即h'（x）≥0．
所以h（x）在（0，+∞）上遞增．
又h（t）=0，所以當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，h（x）＜0；當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，h（x）＞0，
即存在唯一點(diǎn)A（2，4+8ln2），使得曲線在點(diǎn)A附近的左、右兩部分分別
位于曲線在該點(diǎn)處切線的兩側(cè)．                …（14分）