Question

4．若定義在區(qū)間D上的函數(shù)y=f（x）滿足：對(duì)?x∈D，?M∈R，使得|f（x）|≤M恒成立，則稱函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上有界．則下列函數(shù)中有界的是：①④⑤．
①y=sinx；②$y=x+\frac{1}{x}$；③y=tanx；④$y=\frac{{{e^x}-{e^{-x}}}}{{{e^x}+{e^{-x}}}}$；
⑤y=x³+ax²+bx+1（-4≤x≤4），其中a，b∈R．

Answer 1

分析 要對(duì)各個(gè)函數(shù)的定義域、值域逐一研究，其中對(duì)于函數(shù)y=sinx；y=tanx主要考察其值域，對(duì)于$y=x+\frac{1}{x}$主要考察單調(diào)性，對(duì)于$y=\frac{{{e^x}-{e^{-x}}}}{{{e^x}+{e^{-x}}}}$主要考察換元思想，對(duì)于y=x³+ax²+bx+1（-4≤x≤4），主要考察閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有最大值和最小值這一性質(zhì)．

解答 解：①∵y=|sinx|≤1，
∴函數(shù)y=|sinx|在區(qū)間R上有界．
②∵y=|x+$\frac{1}{x}$|≥2
∴函數(shù)y=|x+$\frac{1}{x}$|在區(qū)間{x|x≠0}上無(wú)界；
③∵y=|tanx|≥0
∴函數(shù)y=|tanx|在區(qū)間{x|x≠$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z}上無(wú)界；
④∵$y=\frac{{{e^x}-{e^{-x}}}}{{{e^x}+{e^{-x}}}}$；
令t=e^x，t＞0
則原式y(tǒng)=$\frac{{t}^{2}-1}{{t}^{2}+1}$=1-$\frac{2}{{t}^{2}+1}$∈（-1，1）
即值域?yàn)椋?1，1）
∴存在M=1，對(duì)?x∈R，使得|f（x）|≤M恒成立，
∴④是有界的．
⑤∵y=x³+ax²+bx+1（-4≤x≤4），
∴y在區(qū)間[-4，4]上是連續(xù)的函數(shù)，故一定要最大值P和最小值Q，
設(shè)M=max{|P|，|Q|}
∴對(duì)?x∈D，?M∈R，使得|f（x）|≤M恒成立，
故⑤是有界的．
故本題答案為：①④⑤．

點(diǎn)評(píng) 本題是關(guān)于函數(shù)的定義域和值域方面的綜合性問(wèn)題，屬于難題．