Question

22.

    已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足=a_na_n+1，n∈N^*.

  

    (1)求數(shù)列{a_n}的通項公式；

    (2)設S_n=a²₁+a²₂+…+a²_n，T_n=，求S_n+T_n，并確定最小正整數(shù)n，使S_n+T_n為整數(shù).

Answer 1

(1)條件式化為a_n+1-

因此{a_n-}為一個等比數(shù)列，其公比為2，首項為a₁-.

所以a_n-·2^n-1=(n∈N*)…………①

因a_n＞0，由①解出a_n=…………②

（2）由①有S_n+T_n=

                =

                =(4ⁿ-1)+2n(n∈N^*)

為使S_n+T_n=(4ⁿ-1)+2n為整數(shù)，當且僅當為整數(shù).

當n=1，2時，顯然S_n+T_n不為整數(shù)，

當n≥3時，∵4ⁿ-1=(1+3)ⁿ-1=C·3+ C·3²+3³（C+…+3^n-3C）

∴只需為整數(shù)，

∵3n-1與3互質，∴n為9的整數(shù)倍.

當n=9時，=13為整數(shù).

故n的最小正整數(shù)為9.