Question

已知點(diǎn)A（－1，0），B（1，－1）和拋物線(xiàn).，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)C于M、P，直線(xiàn)MB交拋物線(xiàn)C于另一點(diǎn)Q，如圖.
（1）證明: 為定值;
（2）若△POM的面積為，求向量與的夾角；
(3)證明直線(xiàn)PQ恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn).

Answer 1

（1）見(jiàn)解析； (2)  ；(3)直線(xiàn)PQ過(guò)定點(diǎn)E（1，－4）.

解析試題分析：（1）設(shè)點(diǎn)根據(jù)、M、A三點(diǎn)共線(xiàn)，
得 計(jì)算得到=5；
(2)設(shè)∠POM=α，可得結(jié)合三角形面積公式可得tanα="1."
根據(jù)角的范圍，即得所求.
(3)設(shè)點(diǎn)、B、Q三點(diǎn)共線(xiàn)，
據(jù)此確定進(jìn)一步確定的方程，化簡(jiǎn)為
得出結(jié)論.
試題解析：（1）設(shè)點(diǎn)、M、A三點(diǎn)共線(xiàn)，

        2分
                 5分
(2)設(shè)∠POM=α，則
由此可得tanα=1.       8分
又        10分
(3)設(shè)點(diǎn)、B、Q三點(diǎn)共線(xiàn)，


即              12分


即        13分
由（*）式，代入上式，得
由此可知直線(xiàn)PQ過(guò)定點(diǎn)E（1，－4）.                14分
考點(diǎn)：拋物線(xiàn)及其幾何性質(zhì)，直線(xiàn)方程，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，轉(zhuǎn)化與化歸思想.