Question

12．已知α∈R，關于x的一元二次不等式2x²-17x+a≤0的解集中有且僅有3個整數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為（30，33]．

Answer 1

分析 二次函數(shù)f（x）=2x²-17x+a的對稱軸為x=$\frac{17}{4}$，關于x的一元二次不等式2x²-17x+a≤0的解集中有且僅有3個整數(shù)為3，4，5，由此能求出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵關于x的一元二次不等式2x²-17x+a≤0的解集中有且僅有3個整數(shù)，
∴△=289-8a＞0，解得a＜$\frac{289}{8}$．
∵二次函數(shù)f（x）=2x²-17x+a的對稱軸為x=$\frac{17}{4}$，
∴關于x的一元二次不等式2x²-17x+a≤0的解集中有且僅有3個整數(shù)為3，4，5，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（3）=2×9-17×3+a≤0}\\{f（6）=2×36-17×6+a＞0}\end{array}\right.$，且f（2）＞0，f（5）≤0，
解得30＜a≤33．
∴實數(shù)a的取值范圍是（30，33]．
故答案為：（30，33]．

點評 本題考查了有特殊要求的一元二次不等式的解法，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．