Question

8．已知不等式9ax+8≥$\frac{36x}{2{x}^{2}+1}$+1在[$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （$\frac{8}{9}$，+∞）
• B． （-∞，$\frac{8}{9}$）
• C． [$\frac{8}{9}$，+∞）
• D． （-∞，$\frac{8}{9}$]

Answer 1

分析 由題意可得a≥$\frac{4}{2{x}^{2}+1}$-$\frac{8}{9x}$對x≥$\frac{1}{2}$恒成立，由f（x）=$\frac{4}{2{x}^{2}+1}$-$\frac{8}{9x}$，求得導數(shù)，判斷符號，得到單調性，可得最大值，即可得到a的范圍．

解答 解：由9ax+8≥$\frac{36x}{2{x}^{2}+1}$，可得
a≥$\frac{4}{2{x}^{2}+1}$-$\frac{8}{9x}$對x≥$\frac{1}{2}$恒成立，
由f（x）=$\frac{4}{2{x}^{2}+1}$-$\frac{8}{9x}$的導數(shù)為
f′（x）=-$\frac{16x}{（2{x}^{2}+1）^{2}}$+$\frac{8}{9{x}^{2}}$，
由8（2x²+1）²-144x³=0，
可得在x≥$\frac{1}{2}$時，解得x=$\frac{1}{2}$，
x≥$\frac{1}{2}$時，f′（x）＜0，即f（x）遞減，
可得f（$\frac{1}{2}$）取得最大值，且為$\frac{8}{3}$-$\frac{16}{9}$=$\frac{8}{9}$，
即有a≥$\frac{8}{9}$．
故選：C．

點評 本題考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離和導數(shù)判斷單調性，求得最大值，是解題的關鍵，屬于中檔題．