Question

已知α、β是兩個不同的平面，m、n是平面α及β之外的兩條不同直線，給出四個論斷：

①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α．

以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個命題____．

Answer 1

答案：略
解析：

解：由題意構(gòu)造四個命題： (1)①②③④；(2)①②④③；(3)①③④②；(4)②③④①． 對于(1)，給出圖形，如圖(1)，平面α⊥平面β，直線n⊥β，假定mβ，則滿足m⊥n，但m是β內(nèi)的任意一條直線，它與平面α的位置關(guān)系既可以是平行，也可以是相交，特殊位置還可以在平面內(nèi)(此時直線m與l重合)．∴命題(1)不正確． 對于(2)，給出圖形，如圖(2)，平面α⊥平面β，m⊥平面α，n平面α，則必有m⊥n，但由于n是平面α內(nèi)的任意一條直線，可知它與平面β的位置關(guān)系也不確定．∴命題(2)也不正確． 對于(3)，如圖(3)，已知m⊥α，n⊥β，m⊥n，求證：α⊥β． 在直線m上任取一點(diǎn)P，經(jīng)過P作一直線PB∥n，與平面β交于點(diǎn)B， ∵m⊥n，n⊥β，∴PB⊥m，PB⊥β． 又設(shè)直線m與直線α的交點(diǎn)為A，由PA、PB確定的平面設(shè)為γ，則α∩γ=CA，β∩γ=CB． 由于l⊥PA，l⊥PB，且PA∩PB=P，∴l⊥γ． ∵CA平面γ，∴l⊥AC，l⊥BC． 在平面四邊形ACBP中，PA⊥AC，PB⊥BC，PA⊥PB， 即四邊形ACBP為矩形． ∴AC⊥CB． 由兩個平面垂直的定義可知，平面α⊥平面β，∴命題(3)正確． 對于(4)，如圖(4)，已知α⊥β，m⊥α，n⊥β，求證m⊥n． 設(shè)α∩β=α，在平面β內(nèi)作直線l⊥α，則l⊥α．又m⊥α，∴l∥m． ∵n⊥β，l平面β，∴n⊥l．∴n⊥m．∴命題(4)也正確． ∴應(yīng)填①③④②或②③④①．