Question

6．已知實(shí)數(shù)a＞0，函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{e^{x-1}}+a，x＜0\\{e^{x-}}+\frac{a}{2}{x^2}-（a+1）x+a，x≥0\end{array}\right.$，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，若函數(shù)y=f（x）與y=f[f（x）]有相同的值域，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，2]
• B． [1，2]
• C． （0，1]
• D． [1，e]

Answer 1

分析 利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合圖象求出函數(shù)f（x）的值域，再由函數(shù)y=f（x）與y=f[f（x）]有相同的值域可得$\frac{a}{2}≤1$，從而求得a的取值范圍．

解答 解：當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，且x→-∞時(shí)，f（x）→a；
當(dāng)x≥0時(shí)，f′（x）=e^x-1+ax-a-1，
∴f′（x）是增函數(shù)，且f′（1）=0，
∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
又f（1）=$\frac{a}{2}$，當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→+∞，
作出f（x）的大致函數(shù)圖象如圖所示：

由圖象可知f（x）≥$\frac{a}{2}$，即函數(shù)y=f（x）的值域?yàn)閇$\frac{a}{2}$，+∞）．
∵y=f[f（x）]的值域也是[$\frac{a}{2}$，+∞）．
∴$\frac{a}{2}≤1$，得a≤2．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，2]．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)圖象的關(guān)系，函數(shù)單調(diào)性的判斷與極值計(jì)算，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，屬于中檔題．