Question

17．正四棱錐（底面是正方形，頂點(diǎn)在底面的射影落在底面中心的四棱錐）P-ABCD底面的四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D在球O的同一個(gè)大圓上，點(diǎn)P在球面上，如果球O的表面積是4π，則四棱錐P-ABCD的體積為（　　）

• A． $\frac{16}{3}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． 2
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 由題意可知，PO⊥平面ABCD，并且是半徑，由球O的表面積是4π，求出半徑，然后求出四棱錐P-ABCD的體積．

解答 解：如圖，正四棱錐P-ABCD底面的四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D在球O的同一個(gè)大圓上，點(diǎn)P在球面上，PO⊥底面ABCD，PO=R，S_ABCD=2R²，
因?yàn)榍騉的表面積是4π，所以R=1
所以四棱錐P-ABCD的體積為$\frac{1}{3}×2×{1}^{2}×1$=$\frac{2}{3}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查球的內(nèi)接體問題，球的表面積、體積，考查學(xué)生空間想象能力，是基礎(chǔ)題．