Question

在平面直角坐標系xOy中,點P到兩點(0,)、(0,)的距離之和等于4,設點P的軌跡為C.

(1)寫出C的方程;

(2)設直線y=kx+1與C交于A、B兩點,k為何值時⊥?此時||的值是多少?

Answer 1

答案：本題主要考查平面向量,橢圓的定義、標準方程及直線與橢圓位置關系等基礎知識,考查綜合運用解析幾何知識解決問題的能力.

解:(1)設P(x,y),由橢圓定義可知,點P的軌跡C是以(0,),(0,)為焦點,長半軸為2的橢圓.

它的短半軸b==1,

故曲線C的方程為x²+=1.                                               

(2)設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),其坐標滿足

消去y并整理得(k²+4)x²+2kx-3=0,

故x₁+x₂=,x₁x₂=.                                          

⊥,即x₁x₂+y₁y₂=0.

而y₁y₂=k²x₁x₂+k(x₁+x₂)+1.

于是x₁x₂+y₁y₂=+1=

所以k=±時,x₁x₂+y₁y₂=0,故⊥.                                        

當k=±時,x₁+x₂=,x₁x₂=.

||==,

而(x₂-x₁)²=(x₂+x₁)²-4x₁x₂

=+4×=.

所以||=.