Question

設函數(shù)f（x）=

ln(x2-2x+2)

x

-

1

4

．
（1）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）上的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)f（x）在（0，2）上有兩個零點x₁，x₂，求證：f（

x1+x2

2

）＜0．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的零點

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：本題（1）先求出原函數(shù)的導函數(shù)，通過導函數(shù)值的正負研究函數(shù)的單調(diào)性，得到本題結(jié)論；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，可以研究函數(shù)f（x）在（0，2）上的函數(shù)值正負情況，從而判斷出f（

x1+x2

2

）的正負，得到本題結(jié)論．．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=

ln(x2-2x+2)

x

-

1

4

，
∴f′（x）=

1 x2-2x+2 ×(2x-2)×x-ln(x2-x+2)

x2

=

2(x2-x)-(x2-2x+2)ln(x2-2x+2)

x2(x2-2x+2)

．
當0＜x＜1時，
∵2（x²-x）=2x（x-1）＜0，
x²-2x+2=（x-1）²+1＞1＞0，
ln（x²-2x+2）=ln[（x-1）²+1]＞ln1=0，
∴f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減；
當1＜x＜2時，
記h（x）=2（x²-x）-（x²-2x+2）ln（x²-2x+2），
則h′（x）=4x-2-（2x-2）ln（x²-2x+2）-（x²-2x+2）×

1

x2-2x+2

×(2x-2)
=2x-（2x-2）ln（x²-2x+2）
=2x[1-ln（x²-2x+2）]+2ln（x²-2x+2）．
∵1＜x＜2，
∴x²-2x+2=（x-1）²+1∈（1，2），
∴0＜ln（x²-2x+2）＜ln2＜1，
∴h′（x）＞0．
∵h（1）=0，
∴h（x）＞0，即f′（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞增．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）上的單調(diào)減區(qū)間為（0，1）；單調(diào)減區(qū)間為（1，2）．

（2）∵x＞0，當x→0時，f（x）→+∞
∴f（1）=-

1

4

，f（2）=

1

2

ln2-

1

4

＞0，
∵函數(shù)f（x）在（0，2）上有兩個零點x₁，x₂，
∴不妨設x₁＜x₂，
則0＜x₁＜1＜x₂＜2，
當x∈（0，x₁）時，f（x）＞0，
當x∈（x₁，x₂）時，f（x）＜0，
當x∈（x₂，2）時，f（x）＞0，
∵x₁＜

x1+x2

2

＜x₂，
∴f（

x1+x2

2

）＜0．

點評：本題考查了導函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性和最值，還考查了分類討論的數(shù)學思想，本題計算復雜，難度較大，屬于難題．