Question

【題目】對(duì)于數(shù)列、，把和叫做數(shù)列與的前項(xiàng)泛和，記作為.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）數(shù)列與數(shù)列的前項(xiàng)的泛和為，且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）從數(shù)列的前項(xiàng)中，任取項(xiàng)從小到大依次排列，得到數(shù)列、、、；再將余下的項(xiàng)從大到小依次排列，得到數(shù)列、、、.求數(shù)列與數(shù)列的前項(xiàng)的泛和

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，求得，當(dāng)時(shí)，可得，由此判斷數(shù)列為等比數(shù)列，進(jìn)而求得通項(xiàng)；

（2）易知，中偶數(shù)項(xiàng)為，奇數(shù)項(xiàng)為（為奇數(shù)），則可分及兩種情況，可得與的不等關(guān)系，再利用數(shù)列的性質(zhì)求解；

（3）解決該小問的關(guān)鍵是分析出滿足，進(jìn)而問題轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的前項(xiàng)和，再利用錯(cuò)位相減法即可求解．

（1）當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，由①，可得②，

①②得，，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，；

（2）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，

，

故對(duì)任意的，都成立，即對(duì)任意的恒成立，

易知，當(dāng)時(shí)，，故；

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，

，

故對(duì)任意的，恒成立，即對(duì)任意的恒成立.

易知，當(dāng)時(shí)，，故.

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是；

（3）易知，數(shù)列的前項(xiàng)中，奇偶項(xiàng)各一半，且奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，

設(shè)數(shù)列中任取了個(gè)偶數(shù)項(xiàng)，個(gè)奇數(shù)項(xiàng)，則數(shù)列中必然是個(gè)奇數(shù)項(xiàng)，個(gè)偶數(shù)項(xiàng)，

又?jǐn)?shù)列由小到大排列，數(shù)列由大到小排列，則必有，即.

，③

由③得，，④

由③④得，，

因此，.