Question

對于定義域為[0，1]的函數(shù)f（x），若同時滿足以下三個條件：
①f（1）=1； 
②x∈[0，1]，總有f（x）≥0；
③當x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1時，都有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂），則稱函數(shù)f（x）為理想函數(shù)．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）為理想函數(shù)，求f（0）．
（Ⅱ）判斷函數(shù)g（x）=2x﹣1（x∈[0，1]）和函數(shù) （x∈[0，1]）是否為理想函數(shù)？若是，予以證明；若不是，說明理由．
（Ⅲ）設函數(shù)f（x）為理想函數(shù)，若x₀∈[0，1]，使f（x₀）∈[0，1]，且f[f（x₀）]=x₀，求證：f（x₀）=x₀．

Answer 1

解：（Ⅰ）取x₁=x₂=0，代入f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂），
可得f（0）≥f（0）+f（0）即f（0）≤0
由已知x∈[0，1]，總有f（x）≥0可得f（0）≥0，
∴f（0）=0
（Ⅱ）顯然g（x）=2^x﹣1在[0，1]上滿足g（x）≥0；
②g（1）=1．若x₁≥0，x₂≥0，且x₁+x₂≤1，則有
g（x₁+x₂）﹣[g（x₁）+g（x₂）]= ﹣1﹣[（ ﹣1）+（ ﹣1）]=（ ﹣1）（ ﹣1）≥0
故g（x）=2^x﹣1滿足條件①②③，
所以g（x）=2^x﹣1為理想函數(shù)．對應函數(shù) 在x∈[0，1]上滿足
①h（1）=1； 
②x∈[0，1]，總有h（x）≥0； 
③但當x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1時，例如 =x₂時，h（x₁+x₂）=h（1）=1，
而h（x₁）+h（x₂）=2h（ ）= ，不滿足條件③，則函數(shù)h（x）不是理想函數(shù)．
（Ⅲ）由條件③知，任給m、n∈[0，1]，當m＜n時，由m＜n知n﹣m∈[0，1]，
∴f（n）=f（n﹣m+m）≥f（n﹣m）+f（m）≥f（m）．
若f（x₀）＞x₀，則f（x₀）≤f[f（x₀）]=x₀，前后矛盾；
若f（x₀）＜x₀，則f（x₀）≥f[f（x₀）]=x₀，前后矛盾．
故f（x₀）=x₀．