Question

例

已知橢圓C：上動點到定點,其中的距離的最小值為1.（1）請確定M點的坐標(biāo)（2）試問是否存在經(jīng)過M點的直線,使與橢圓C的兩個交點A、B滿足條件（O為原點）,若存在,求出的方程,若不存在請說是理由。

Answer 1

（1，0）；這樣的直線不存在。

解析:

【思維分析】此題解題關(guān)鍵是由條件知從而將條件轉(zhuǎn)化點的坐標(biāo)運算再結(jié)合韋達(dá)定理解答。

解析：設(shè)，由得故由于且故當(dāng)時，的最小值為此時，當(dāng)時，取得最小值為解得不合題意舍去。綜上所知當(dāng)是滿足題意此時M的坐標(biāo)為（1，0）。

（2）由題意知條件等價于，當(dāng)的斜率不存在時，與C的交點為，此時，設(shè)的方程為，代入橢圓方程整理得，由于點M在橢圓內(nèi)部故恒成立，由知即，據(jù)韋達(dá)定理得，代入上式得得不合題意。綜上知這樣的直線不存在。

【知識點歸類點拔】在解題過程中要注意將在向量給出的條件轉(zhuǎn)化向量的坐標(biāo)運算，從而與兩交點的坐標(biāo)聯(lián)系起來才自然應(yīng)用韋達(dá)定理建立起關(guān)系式。此題解答具有很強(qiáng)的示范性，請同學(xué)們認(rèn)真體會、融會貫通。