Question

3．已知函數(shù)f（x）=x⁴-4x³+tx²+6（t∈R）．①若t=4，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；②若f（x）在x=-1處取得極值，求f（x）在區(qū)間[-2，1]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析 ①當(dāng)t=4時(shí)，f′（x）=4x³-12x²+8x=4x（x-1）（x-2），分別解出：f′（x）＞0，f′（x）＜0，解出即可．
②f′（x）=4x³-12x²+2tx=4x（x²-3x+$\frac{t}{2}$），由已知f（-1）=0，t=-8，此時(shí)f′（x）=4x（x+1）（x-4），分別解出：f′（x）＜0，f′（x）＞0．可得單調(diào)性，進(jìn)而得出極值與最值．

解答 解：①當(dāng)t=4時(shí)，f′（x）=4x³-12x²+8x=4x（x-1）（x-2），
由f′（x）＞0解得x∈（0，1）∪（2，+∞），
∴f（x）的增區(qū)間是（0，1）和（2，+∞）；
由f′（x）＜0，解得x∈（-∞，0）∪（1，2），
∴f（x）的減區(qū)間是（-∞，0）和（1，2）．
②f′（x）=4x³-12x²+2tx=4x（x²-3x+$\frac{t}{2}$），由已知f（-1）=0，t=-8，
此時(shí)f′（x）=4x（x+1）（x-4），
則當(dāng)x∈（-2，-1）時(shí)，f′（x）＜0；x∈（-1，0）時(shí)，f′（x）＞0；x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＜0．
∴f（x）在x=-1處取得極小值3，在x=0處取得極大值6，
而f（-2）=22，f（1）=-5，
則f（x）在[-2，1]上的最大值是22，最小值時(shí)-5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．