Question

在面積為1的△PMN中，tg∠PMN=，tg∠MNP=－2．建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求以M，N為焦點且過點P的橢圓方程。

 

Answer 1

答案：
解析：

解法一：如圖，以MN所在直線為x軸，MN的垂直平分線為y軸建    立直角坐標(biāo)系，設(shè)以M，N為焦點且過點P的橢圓方程為，焦點為M (－c，0)，N (c，0)． 由tgM=，tgα=tg(π－∠MNP)=2，得直線PM和直線PN的方程分別為 y=(x+c)和y=2(x－c)． 將此二方程聯(lián)立，解得 x=c，y=c，即P點坐標(biāo)為(c，c)． 在△MNP中，|MN|=2c，MN上的高為點P的縱坐標(biāo)，故 由題設(shè)條件S△MNP=1，∴ c=，即P點坐標(biāo)為．         由兩點間的距離公式 ， ． 得 ．                                     又  b2=a2－c2=， 故所求橢圓方程為．                                               解法二：同解法一得，P點的坐標(biāo)為．            ∵ 點P在橢圓上，且a2=b2+c2． ∴ ． 化簡得3b4－8b2－3=0． 解得b2=3，或b2= (舍去)．                                 又 a2=b2+c2=3+． 故所求橢圓方程為．                                    解法三：同解法一建立坐標(biāo)系．                                     ∵ ∠P=∠α－∠PMN， ∴ ． ∴ ∠P為銳角． ∴ sinP=，cosP=． 而 S△MNP=|PM|·|PN|sinP=1， ∴ |PM|·|PN|=．                    ∵ |PM|+|PN|=2a，|MN|=2c， 由余弦定理， (2c)2=|PM|2+|PN|2－2|PM|·|PN|cosP =(|PM|+|PN|)2－2|PM|·|PN|(1+cosP) =(2a)2－2·－2··， ∴ c2=a2－3，即b< SUP>2=3．           ;                                 又 sinM=，sinN=， 由正弦定理， ， ∴ ． 即  ， ∴ a=c．                                                      ∴ a2=b2+c2=3+． ∴ a2=． 故所求橢圓方程為．