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設函數(shù)．數(shù)列滿足，．

（Ⅰ）證明：函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)；

（Ⅱ）證明：；

（Ⅲ）設，整數(shù)．證明：．

解：（Ⅰ）當0＜x＜1時，

=1-lnx-1=- lnx＞0,

所以函數(shù)f(x)在區(qū)間（0,1）是增函數(shù).

（Ⅱ）當0＜x＜1時,f(x)=x-xlnx＞x.

又由（Ⅰ）及f(x)在x=1處連續(xù)加，

當0＜x＜1時,f(x)＜f(1)=1.

因此，當0＜x＜1時，0＜x＜f(x)＜1  ①

下面用數(shù)學歸納法證明：②

(1)

0＜a1＜a2＜1,即當n=1時，不等式②成立.

（2）假設n=k時，不等式②成立，即

則由①可得

故當n=k+1時，不等式②也成立.

綜合（1）（2）證得：


練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)，數(shù)列滿足．

⑴求數(shù)列的通項公式；

⑵設，若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

⑶是否存在以為首項，公比為的數(shù)列，，使得數(shù)列中每一項都是數(shù)列中不同的項，若存在，求出所有滿足條件的數(shù)列的通項公式；若不存在，說明理由

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設函數(shù)，數(shù)列滿足,且數(shù)列為遞增數(shù)列,則實數(shù)A的取值范圍為(    )     

A.(2,3)   B.(1,3)   C.(1,+)  D. (2, +)

 

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設函數(shù)與數(shù)列滿足關(guān)系：(1)  a1.>a, 其中a是方程的實根，(2) an+1=  ( nN+ )  ,如果的導數(shù)滿足0<<1

（1）證明： an>a  （2）試判斷an與an+1的大小，并證明結(jié)論。 

 

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設函數(shù)，數(shù)列滿足，且數(shù)列是遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是_____________________________。

 

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科目：高中數(shù)學 來源：廣東實驗中學2009-2010學年（下）高二級模塊考試（理） 題型：解答題

 

設函數(shù)．數(shù)列滿足，．

（Ⅰ）證明：函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)；

（Ⅱ）證明：；

（Ⅲ）設，整數(shù)．證明：．

 

 

 

 

 

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