Question

在△ABC中，，
（1）求tanA的值
（2）求BC的長度和△ABC的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系得到sin²A+cos²A=1，與已知的等式聯(lián)立即可求出sinA和cosA的值，然后再由已知的等式兩邊平方，利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡后求出sin2A的值，根據(jù)其值小于0得到2A的范圍即可求出A的范圍，發(fā)現(xiàn)A為鈍角，即sinA大于0，cosA小于0，得到滿足題意的sinA和cosA的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系即可求出tanA的值；
（2）由AC，AB及求出的cosA的值，利用余弦定理即可求出BC的長，然后由AC，AB及sinA的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．
解答：解：（1）聯(lián)立得：，
解得：或，
由sinA+cosA=，
兩邊平方得：1+sin2A=，即sin2A=-，
∴180°＜2A＜360°，即90°＜A＜180°，
∴sinA＞0，cosA＜0，
∴，
∴tanA==×=-2-；
（2）由AC=2，AB=，
根據(jù)余弦定理得：BC²=AC²+AB²-2AC•BC•cosA=2²+2-4××=4+2=（1+）²，
∴BC=1+，
∴S_△ABC=AC•AB•sinA=×2××=．
點評：此題考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，余弦定理及三角形的面積公式．熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵，同時在求出sinA和cosA后，要根據(jù)A的范圍判定得到滿足題意的解．