Question

已知平面上兩點(diǎn)M（-5，0）和N（5，0），若直線(xiàn)上存在點(diǎn)P使|PM|-|PN|=6，則稱(chēng)該直線(xiàn)為“單曲型直線(xiàn)”，下列直線(xiàn)中是“單曲型直線(xiàn)”的是（　　）
①y=x+1；    ②y=2；   ③y=

4

3

x；   ④y=2x+1．

• A、①③
• B、①②
• C、②③
• D、③④

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專(zhuān)題：計(jì)算題,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義，可得點(diǎn)P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)，2a=6的雙曲線(xiàn)，由此算出雙曲線(xiàn)的方程為

x2

9

-

y2

16

=1．再分別判斷雙曲線(xiàn)與四條直線(xiàn)的位置關(guān)系，可得只有①②的直線(xiàn)上存在點(diǎn)P滿(mǎn)足B型直線(xiàn)的條件，由此可得答案．

解答： 解：∵點(diǎn)M（-5，0），N（5，0），點(diǎn)P使|PM|-|PN|=6，
∴點(diǎn)P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)，2a=6的雙曲線(xiàn)
可得b²=c²-a²=5²-3²=16，雙曲線(xiàn)的方程為

x2

9

-

y2

16

=1
∵雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y=±

4

3

x
∴直線(xiàn)y=

4

3

x與雙曲線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)，
直線(xiàn)y=2x+1經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1）斜率k＞

4

3

，與雙曲線(xiàn)也沒(méi)有公共點(diǎn)
而直線(xiàn)y=x+1、與直線(xiàn)y=2都與雙曲線(xiàn)

x2

9

-

y2

16

=1有交點(diǎn)
因此，在y=x+1與y=2上存在點(diǎn)P使|PM|-|PN|=6，滿(mǎn)足B型直線(xiàn)的條件
只有①②正確
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題給出“B型直線(xiàn)”的定義，判斷幾條直線(xiàn)是否為B型直線(xiàn)，著重考查了雙曲線(xiàn)的定義標(biāo)準(zhǔn)方程、直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．