Question

6．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{a}{x}$+2（a為常數(shù)）．
（Ⅰ）當(dāng)a=4時(shí)，判斷并證明函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并求f（x）在[1，3]上的值域；
（Ⅱ）若對(duì)任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將a=4的值代入函數(shù)解析式，通過(guò)求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可；結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而求出函數(shù)在閉區(qū)間上的最值；
（Ⅱ）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a＞-x²-2x在x∈[1，+∞）恒成立，求出函數(shù)y=-x²-2x的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）a=4時(shí)：f（x）=x+$\frac{4}{x}$+2，f（x）在（0，2）遞減，在（2，+∞）遞增，
證明如下：
由f′（x）=1-$\frac{4}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-4}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+2）（x-2）}{{x}^{2}}$，（x＞0），
令f′（x）＞0，解得：x＞2，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，
∴f（x）在（0，2）遞減，在（2，+∞）遞增，
由函數(shù)的單調(diào)性得：f（x）在[1，2）遞減，在（2，3]遞增，
而f（1）=1+4+2=7，f（2）=6，f（3）=6$\frac{1}{3}$，
∴f（x）的值域是[6，7]；
（Ⅱ）對(duì)任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立
等價(jià)于x+$\frac{a}{x}$+2＞0在x∈[1，+∞）恒成立
等價(jià)于a＞-x²-2x=-（x+1）²+1恒成立，
而當(dāng)x=1時(shí)，y=-（x+1）²+1取最大值-3，
故a＞-3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)閉區(qū)間上的最值，考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，是一道中檔題．