Question

求證：對(duì)?x∈R，e^x≥x+1．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：首先構(gòu)造函數(shù)f（x）=e^x-x-1，然后求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系進(jìn)行證明．

解答： 證明：設(shè)f（x）=e^x-x-1，則f′（x）=e^x-1，
∴當(dāng)x=0時(shí)，f′（x）=0，f（x）=0．
當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（x）＞f（0）=0．
當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，
∴f（x）＞f（0）=0．
∴對(duì)x∈R都有f（x）≥0，
∴e^x≥x+1．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，掌握并會(huì)熟練運(yùn)用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系．