Question

13．已知函數(shù)f（x），當(dāng)x∈（0，1]時滿足如下性質(zhì)：f（x）=2lnx且$f（x）=2f（\frac{1}{x}）$，若在區(qū)間$[\frac{1}{3}，3]$內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）-ax，有三個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． $[\frac{ln3}{3}，\frac{1}{e}）$
• B． $[\frac{4ln3}{3}，\frac{4}{e}）$
• C． $（0，\frac{1}{e}）$
• D． $（0，\frac{4}{e}）$

Answer 1

分析 若函數(shù)g（x）=f（x）-ax，有三個不同的零點，則函數(shù)y=f（x）和y=ax的圖象有三個不同的交點，根據(jù)已知求出函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)法，求出兩圖象相切時的臨界值，可得答案．

解答 解：∵函數(shù)f（x）當(dāng)x∈（0，1]時滿足如下性質(zhì)：f（x）=2lnx且$f（x）=2f（\frac{1}{x}）$，
∴在區(qū)間$[\frac{1}{3}，3]$內(nèi)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}2lnx，x∈[\frac{1}{3}，1]\\-4lnx，x∈[1，3]\end{array}\right.$，
∵f（1）=0，f（3）=-4ln3，
若y=ax的圖象過（3，-4ln3）則a=$\frac{4ln3}{3}$，
若y=ax的圖象與f（x）=-4lnx，x∈[1，3]相切于（b，-4lnb）點，
則切線方程為：y+4lnb=$\frac{-4}$（x-b），即
4lnb=4，b=e，
此時a=$\frac{4}{e}$
若函數(shù)g（x）=f（x）-ax，有三個不同的零點，
則函數(shù)y=f（x）和y=ax的圖象有三個不同的交點，
則a∈$[\frac{4ln3}{3}，\frac{4}{e}）$，
故選：B．

點評 此題充分利用了分類討論的思想，是一道綜合題，將函數(shù)零點問題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點個數(shù)問題，是解答的關(guān)鍵．