Question

甲乙二人輪流擲一枚均勻的正方體骰子，規(guī)定：如果某人某一次擲出1點(diǎn)，則下一次繼續(xù)由此人擲，如果擲出其他點(diǎn)數(shù)，則由另一人來(lái)擲，且第一次由甲擲.設(shè)第n次由甲擲的概率為p_n，由乙擲的概率為q_n.

(1)計(jì)算p₂，p₃的值；

(2)求證{p_n－q_n}是等比數(shù)列；

(3)求p_n.

Answer 1

（1）p₂＝，p₃＝ p₂＋ q₂＝；（2）同解析；（3）p_n＝。

解析:

(1)由已知，p₁＝1,q₁＝0 ---1分  p₂＝,且q₂＝

 p₃＝ p₂＋ q₂＝

(2)由已知，p_n＝p_n－1＋q_n－1,q_n＝q_n－1＋p_n－1(n≥2)   

兩式相減得：p_n－q_n＝(p_n－1－q_n－1)＋(q_n－1－p_n－1) ＝－(p_n－1－q_n－1) 

即數(shù)列{p_n－q_n}是公比為－等比數(shù)列； 

(3)由(2)得：p_n－q_n＝(－)^n－1(p₁－q₁)＝(－)^n－1     

又p_n＋q_n＝1   ∴p_n＝(－)^n－1＋q_n＝(－)^n－1＋(1－p_n) 

∴p_n＝(－)^n－1＋(n∈N_＋)    ∴p_n＝.