Question

已知F₁、F₂分別是橢圓（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，M、N分別是直線（m是大于零的常數(shù)）與x軸、y軸的交點(diǎn)，線段MN的中點(diǎn)P在橢圓C上．
（Ⅰ）求常數(shù)m的值；
（Ⅱ）試探究直線l與橢圓C是否還存在異于點(diǎn)P的其它公共點(diǎn)？請(qǐng)說明理由；
（Ⅲ）當(dāng)a=2時(shí)，試求△PF₁F₂面積的最大值，并求△PF₁F₂面積取得最大值時(shí)橢圓C的方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知可得M（ma，0）、N（0，mb），
故MN的中點(diǎn)為，
又點(diǎn)P在橢圓C上，∴，所以

（Ⅱ）（解法一）由（Ⅰ）得，
與方程C聯(lián)立得：，
即，
由于，
∴此方程有兩個(gè)相等實(shí)根，
故直線l與橢圓C相切，切點(diǎn)為，
除此之外，不存在其他公共點(diǎn)

（解法二）由（Ⅰ）得，與方程C聯(lián)立得：
所以，則
∴和是方程的兩根，
又，∴此方程有兩個(gè)相等實(shí)根，即，
∴直線l與橢圓C的公共點(diǎn)是唯一的點(diǎn)，
即除點(diǎn)P以外，不存在其他公共點(diǎn)

（Ⅲ）當(dāng)a=2時(shí)，=，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等式成立，故
此時(shí)，橢圓C的方程為：

分析：（Ⅰ）由已知可得M（ma，0）、N（0，mb），從而可得MN的中點(diǎn)為P的坐標(biāo)，利用點(diǎn)P在橢圓C上，即可求常數(shù)m的值；
（Ⅱ）（解法一）由（Ⅰ）得，與方程C聯(lián)立消元，由此可得直線l與橢圓C相切時(shí)切點(diǎn)的坐標(biāo)；
（解法二）由（Ⅰ）得，與方程C聯(lián)立，可得，從而和是方程的兩根，由此可得直線l與橢圓C的公共點(diǎn)是唯一的點(diǎn)P；
（Ⅲ）當(dāng)a=2時(shí)，表示△PF₁F₂面積，利用基本不等式，可求△PF₁F₂面積的最大值，從而可得橢圓C的方程．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，考查基本不等式的運(yùn)用，聯(lián)立直線與橢圓方程是關(guān)鍵．