Question

10．設函數(shù)f（x）=e^2x-alnx．
（Ⅰ）討論f（x）的導函數(shù)f′（x）零點的個數(shù)；
（Ⅱ）證明：當a＞0時，f（x）≥2a+aln$\frac{2}{a}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求導，在分類討論，當a≤0時，當a＞0時，根據(jù)零點存在定理，即可求出；
（Ⅱ）設導函數(shù)f′（x）在（0，+∞）上的唯一零點為x₀，根據(jù)函數(shù)f（x）的單調性得到函數(shù)的最小值f（x₀），只要最小值大于2a+aln$\frac{2}{a}$，問題得以證明．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=e^2x-alnx的定義域為（0，+∞），
∴f′（x）=2e^2x-$\frac{a}{x}$．
當a≤0時，f′（x）＞0恒成立，故f′（x）沒有零點，
當a＞0時，∵y=e^2x為單調遞增，y=-$\frac{a}{x}$單調遞增，
∴f′（x）在（0，+∞）單調遞增，
又f′（a）＞0，
假設存在b滿足0＜b＜$\frac{a}{4}$時，且b＜$\frac{1}{4}$，f′（b）＜0，
故當a＞0時，導函數(shù)f′（x）存在唯一的零點，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，可設導函數(shù)f′（x）在（0，+∞）上的唯一零點為x₀，
當x∈（0，x₀）時，f′（x）＜0，
當x∈（x₀+∞）時，f′（x）＞0，
故f（x）在（0，x₀）單調遞減，在（x₀+∞）單調遞增，
所欲當x=x₀時，f（x）取得最小值，最小值為f（x₀），
由于$2{e}^{2{x}_{0}}$-$\frac{a}{{x}_{0}}$=0，
所以f（x₀）=$\frac{a}{2{x}_{0}}$+2ax₀+aln$\frac{2}{a}$≥2a+aln$\frac{2}{a}$．
故當a＞0時，f（x）≥2a+aln$\frac{2}{a}$．

點評 本題考查了導數(shù)和函數(shù)單調性的關系和最值的關系，以及函數(shù)的零點存在定理，屬于中檔題．