Question

2．已知△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且5sin²A+5sin²B-5sin²C+6sinAsinB=0，且ab=15．
（1）求cosC；
（2）求邊c的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知條件和正弦定理可得a²+b²-c²=-$\frac{6}{5}$ab，代入余弦定理可得cosC；
（2）由余弦定理和基本不等式可得c²≥48，開方可得答案．

解答 解：（1）∵△ABC中5sin²A+5sin²B-5sin²C+6sinAsinB=0，
∴由正弦定理可得5a²+5b²-5c²+6ab=0，∴a²+b²-c²=-$\frac{6}{5}$ab
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=-$\frac{3}{5}$；
（2）由余弦定理可得c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²+$\frac{6}{5}$ab
≥2ab+$\frac{6}{5}$ab=$\frac{16}{5}$ab=$\frac{16}{5}$×15=48，
當且僅當a=b=$\sqrt{15}$時取等號．
∴邊c的最小值為$\sqrt{48}$=4$\sqrt{3}$

點評 本題考查正余弦定理解三角形，涉及基本不等式求最值，屬中檔題．