Question

18．已知函數(shù)f（x）=（m+x）lnx在（1，f（1））處的切線與直線y=2x-4平行．
（1）求f（x）在區(qū)間[e，+∞）上的最小值；
（2）若對(duì)任意x∈（0，1），都有$\frac{1}{a}$f（x）+2-2x＜0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)f（x）=（m+x）lnx在（1，f（1））處的切線與直線y=2x-4平行，求出m，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求f（x）在區(qū)間[e，+∞）上的最小值；
（2）若對(duì)任意x∈（0，1），都有$\frac{1}{a}$f（x）+2-2x＜0成立，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=（m+x）lnx，
∴f′（x）=1+lnx+$\frac{m}{x}$，
∵函數(shù)f（x）=（m+x）lnx在（1，f（1））處的切線與直線y=2x-4平行，
∴f′（1）=1+m=2，
∴m=1，
∴f（x）=（1+x）lnx，f′（x）=1+lnx+$\frac{1}{x}$，
∴f（x）在區(qū)間[e，+∞）上f′（x）＞0，函數(shù)為增函數(shù)，
∴f（x）在區(qū)間[e，+∞）上的最小值為f（e）=e+1；
（2）∵對(duì)任意x∈（0，1），都有$\frac{1}{a}$f（x）+2-2x＜0成立，
∴對(duì)任意x∈（0，1），$\frac{1+x}{a}$lnx+2（1-x）＜0成立，
∵lnx＜0，
∴①a＜0，$\frac{1+x}{a}$lnx+2（1-x）＜0，不合題意；
②a＞0時(shí)，lnx+$\frac{2a（1+x）}{1-x}$＜0對(duì)任意x∈（0，1）成立，
設(shè)h（x）=lnx+$\frac{2a（1+x）}{1-x}$，對(duì)任意x∈（0，1）成立，h（x）＜0成立．
則h′（x）=$\frac{{x}^{2}+（2-4a）x+1}{x（1+x）^{2}}$．
設(shè)g（x）=x²+（2-4a）x+1，△=16a（a-1）．
a∈（0，1]，△≤0，g（x）≥0，h′（x）≥0，∴h（x）在（0，1]上為增函數(shù)，
∵h(yuǎn)（1）=0，∴h（x）＜0；
a∈（1，+∞），△＞0，g（0）=1＞0，g（1）=4（1-a）＜0，
故存在x₀∈（0，1]，使得g（x₀）=0，對(duì)任意x∈（x₀，1），g（x）＜0，h′（x）＜0，h（x）在（x₀，1）上為減函數(shù)，
∵h(yuǎn)（1）=0，∴x∈（x₀，1），h（x）＞0，不合題意，
綜上所述，a∈（0，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題的考點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及求函數(shù)的最值．不等式恒成立問題常常是轉(zhuǎn)化為最值恒成立去解決．