Question

如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為BD、BB₁的中點．

(I) 求證：EF⊥AD₁；

(Ⅱ)求二面角E-D₁F-A的大小   

(Ⅲ)求三棱錐D₁-AEF的體積．

Answer 1

解：(I)連結(jié)B₁D、A₁D．

    ∵ ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，

           ∴ A₁D是B₁D在平面AA₁D₁D的射影， 并且   A₁D⊥AD₁    ∴ AD₁⊥B₁D（三垂線定理）    

又 ∵在△BB₁D內(nèi)，E、F分別為BD、BB₁的中點，∴ EF∥B₁D．

     ∴ EF⊥AD₁． 

     (Ⅱ)以A為原點，AB、AD、AA₁分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，則易知各點的坐標分別為：A (0,0,0), E(1,1,0), F(2,0,1), D₁ (0,1,2)

     ∴  AE=(1,1,0), AF=(2,0,1), AD₁=(0,2,2)         

∵AE⊥平面BB₁D₁D，∴ AE就是平面BB₁D₁D的法向量。

     設(shè)平面AFD₁的法向量為n=(x,y,z) ,則

     n?AF =(x,y,z) ?(2,0,1)=2x+z=0,n?AD₁=(x,y,z) ?(0,2,2)=2y+2z=0

     令x=1,得z=-2,y=2, 即n=(1,2,-2)  ∴ cos<AE?n> =…=

     由圖形可知，二面角E-D₁F-A的平面角為銳角，

      ∴ 二面角E-D₁F-A的大小為45°。

      (Ⅲ)由(I)知，EF⊥AD₁，又顯然EF⊥AE ∴EF⊥平面AED₁

      ∴EF就是三棱錐F-AED₁的高。又∵AE⊥平面BB₁D₁D，∴AE⊥D₁E

      ∴三棱錐F-AED₁的底面AED₁是直角三角形。

      易求得

      ∴三棱錐D₁-AEF的體積