Question

已知函數(shù)

（1）時函數(shù)的單調性；

（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）設，若對任意的兩個實數(shù)滿足，總存在，使得成立，證明：

Answer 1

解析：

（1）當時，函數(shù)，

則．

當時，，當時，1，

則函數(shù)的單調遞減區(qū)間為(0，1)，單調遞增區(qū)間為(1，． 

（2）恒成立，即恒成立，整理得恒成立．

設，則，令，得．當時，，函數(shù)單調遞增，當時，，函數(shù)單調遞減，因此當時，取得最大值1，因而．      

（3），．

因為對任意的總存在，使得成立，

所以，   即，

即

．           

設，其中，則，因而在區(qū)間(0，1)上單調遞增，，又．

所以，即．