Question

（2013•溫州二模）已知函數(shù)f（x）=

1

3

ax3-

1

2

x2-

1

6

，a∈R．
（Ⅰ）若f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍
（Ⅱ）若f（x）≥lnx恒成立，求實數(shù)a的最小值．

Answer 1

分析：（I）問題等價于f′（x）=ax²-x≤0在x＞0上恒成立，分離a易得答案；
（II）問題等價于a≥

3x2+1+6lnx

2x3

恒成立，構造函數(shù)g（x）=

3x2+1+6lnx

2x3

，通過求導數(shù)可得g（x）_max=g（1）=2，從而可得答案．

解答：解：（I）由條件得f′（x）=ax²-x≤0在x＞0上恒成立，
即a≤

1

x

在x＞0上恒成立，∴a≤0    …（5分）
（II）問題等價于a≥

3x2+1+6lnx

2x3

恒成立，
設g（x）=

3x2+1+6lnx

2x3

，
則：g′（x）=

(6x+ 6 x )•2x3-(3x2+1+6lnx)

4x6

=

-3(x2-1+6lnx)

2x4

…（10分）
設h（x）=x²-1+6lnx（x＞0），則h（x）是增函數(shù)，且h（1）=0
∴由g′（x）＜0，可得h（x）＞0，即x＞1，由g′（x）＞0，可得h（x）＜0，即0＜x＜1，
∴g（x）_max=g（1）=2，
故a≥2，因此a_min=2…（15分）

點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，涉及函數(shù)的恒成立問題，屬中檔題．