Question

已知x＞0，y＞0且，求x＋y的最小值．

Answer 1

答案：16
解析：

要求x＋y的最小值，根據(jù)極值定理，應(yīng)構(gòu)建某個(gè)積為定值，這需要對條件進(jìn)行必要的變形，下面給出三種解法，請仔細(xì)體會(huì)． 解法1：∵x＞0，y＞0且， ∴． 當(dāng)且僅當(dāng)，即x＝4，y＝12時(shí)等號成立． ∴x＋y的最小值是16． 解法2：由，得． ∵x＞0，y＞0∴y＞9． ． ∵y＞9，∴y－9＞0， ∴． 當(dāng)且僅當(dāng)，即y＝12時(shí)，取等號，此時(shí)，x＝4．∴當(dāng)x＝4，y＝12時(shí)，x＋y取最小值16． 解法3：由，得y＋9x＝xy， ∴(x－1)(y－9)＝9． ∴x＋y＝10＋(x－1)＋(y－9) ． 當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝y－9時(shí)取等號．又， ∴x＝4，y＝12． ∴當(dāng)x＝4，y＝12時(shí)，x＋y取最小值16． 本題給出了三種解法，都用到了基本不等式，且都對式子進(jìn)行了變形，配湊出基本不等式滿足的條件，這是經(jīng)常需要使用的方法，要學(xué)會(huì)觀察學(xué)會(huì)形．另外解法2通過消元，化二元問題為一元問題，要注意根據(jù)被代換的變量的范圍對另一個(gè)變量范圍的影響．