Question

在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，M、N分別為BB₁、A₁C₁的中點(diǎn)。

   （Ⅰ）求證：AB⊥CB₁；

   （Ⅱ）求證：MN//平面ABC₁。

   

Answer 1

見解析

解析:

（1）在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，

側(cè)面BB₁C₁C⊥底面ABC，且側(cè)面BB₁C₁C∩底面ABC=BC，

∵∠ABC=90°，即AB⊥BC，

∴AB⊥平面BB₁C_??1C

∵CB₁平面BB₁C₁C，

∴AB⊥CB₁. 

（2）證法一

取AA₁的中點(diǎn)E，連NE、ME，

∵在△AA₁C_??1中，N、E是中點(diǎn)，

∴NE//AC

又∵M(jìn)、E分別是BB₁、AA₁的中點(diǎn)，            

∴ME//BA，

又∵AB∩AC₁=A，

∴平面MNE//平面ABC₁，

而MN平面MNE，

∴MN//ABC₁.

證法二

取AC₁的中點(diǎn)F，連BF、NF

在△AA₁C₁中，N、F是中點(diǎn)，

∴NFAA₁，

又∵BMAA₁，

∴EFBM，

故四邊形BMNF是平行四邊形，

∴MN//BF，………………10分

而EF面ABC₁，MN平面ABC₁，∴MN//面ABC₁.