Question

已知向量

a

=（2sinx，2sinx），

b

=（sinx，cosx），函數f（x）=

a

•

b

．
（1）求f（x）的單調區(qū)間；
（2）請說出f（x）的圖象是由y=sinx的圖象經過怎樣的變換得到的（說清每一步的變換方法）；
（3）當x∈[0，

π

2

]時，求f（x）的最大值及取得最大值時的x的值．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算,函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數的圖像與性質,平面向量及應用

分析：雙向利用向量的數量積的坐標運算明確f（x）的解析式，化簡進行所謂一個角的一個三角函數名稱的形式，然后求單調區(qū)間以及最值．

解答： 解：∵向量

a

=（2sinx，2sinx），

b

=（sinx，cosx），函數f（x）=

a

•

b

，
∴f（x）=2sin²x+2sinxcosx=1-cos2x+sin2x=

2

sin（2x-

π

4

）+1；
（1）∵y=sinx的單調遞增區(qū)間為[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，單調遞減區(qū)間為[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]，
∴f（x）的單調遞增區(qū)間為2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，即-

π

8

+kπ≤x≤

3π

8

+kπ，（k∈Z）
f（x）的單調遞減區(qū)間為2kπ+

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

3π

2

，即

3π

8

+kπ≤x≤

7π

8

+kπ，（k∈Z）
∴f（x）的單調遞增區(qū)間為[-

π

8

+kπ，

3π

8

+kπ]，（k∈Z）
f（x）的單調遞減區(qū)間為[

3π

8

+kπ，

7π

8

+kπ]，（k∈Z）；
（2）①將y=sinx圖象上的橫坐標不變，縱坐標伸長原來的

2

倍得到y(tǒng)=

2

sinx，再將y=

2

sinx的縱坐標不變，橫坐標縮小為原來的

1

2

，得到y(tǒng)=

2

sin2x，繼續(xù)將y=

2

sin2x的圖象向右平移

π

8

個單位，向上平移1個單位得到y(tǒng)=

2

sin（2x-

π

4

）+1的圖象；
（3）當x∈[0，

π

2

]時，2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
∴當2x-

π

4

=

π

2

時，f（x）的最大值為

2

+1，此時x=

3π

8

．

點評：本題考查了向量的數量積的坐標運算以及三角恒等變形求三角函數解析式以及求三角函數的單調區(qū)間和最值．