Question

素材1：煙囪向其周圍地區(qū)散落煙塵造成環(huán)境污染；

素材2：落在地面某處的煙塵濃度與該處到煙囪的距離的平方成反比，而與該煙囪噴出的煙塵量成正比；

素材3：有A、B兩座煙囪相距20 km;

素材4：B煙囪噴出的煙塵量是A煙囪的8倍.

將上面的素材構(gòu)建成一個(gè)問題然后再解答.

Answer 1

構(gòu)建問題：煙囪向其周圍地區(qū)散落煙塵造成環(huán)境污染.

已知落在地面某處的煙塵濃度與該處到煙囪的距離的平方成反比，而與該煙囪噴出的煙塵量成正比.現(xiàn)有A、B兩座煙囪相距20 km，

    其中，B煙囪噴出的煙塵量是A煙囪的8倍，試求出兩座煙囪連線上的一點(diǎn)C，使該點(diǎn)的煙塵濃度最低.

思路分析：列出煙塵濃度與點(diǎn)C距離A、B的距離的函數(shù)關(guān)系式，再利用導(dǎo)數(shù)求最小值.

解：不妨設(shè)A煙囪噴出的煙塵量為1，則B煙囪噴出的煙塵量為8，設(shè)|AC|=x，則0＜x＜20.

∴|BC|=20-x.

依題意得點(diǎn)C處的煙塵濃度y為

y=(k為比例系數(shù)).

∴y′=-

=

令y′=0,得到(3x-20)·(3x²+400)=0.

又0＜x＜20,∴x=.

∵當(dāng)x∈(0, )時(shí)，y′＜0,x∈(,20)時(shí)，y′＞0,∴當(dāng)x=時(shí)，y取最小值.

故當(dāng)點(diǎn)C位于距A點(diǎn) km處時(shí)，該點(diǎn)的煙塵濃度最低.