Question

（本題滿分15分）已知橢圓：（）和圓：，分別是橢圓的左、右兩焦點(diǎn)，過且傾斜角為（）的動(dòng)直線交橢圓于兩點(diǎn)，交圓于兩點(diǎn)（如圖所示，點(diǎn)在軸上方）.當(dāng)時(shí)，弦的長為.

（1）求圓與橢圓的方程；

（2）若成等差數(shù)列，求直線的方程.

 

Answer 1

（1）橢圓的方程為：，：；（2）直線的方程為：.

【解析】

試題分析：（1）求圓與橢圓的方程，其實(shí)只要求的值，而本身滿足，只要再建立一個(gè)關(guān)于的等式即可求出的值，這可從直線被圓截得的弦長為考慮，運(yùn)用垂徑定理建立關(guān)于等式；（2）求直線的方程，因?yàn)橹本�已經(jīng)經(jīng)過，只要再求一點(diǎn)或斜率，即可得到方程，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015011706430805716594/SYS201501170644285133374959_DA/SYS201501170644285133374959_DA.015.png">成等差數(shù)列，結(jié)合橢圓的定義，可求得的長，從而可求得的坐標(biāo)，最終可求得直線的方程.

試題解析：（1）取的中點(diǎn)，連，由，，知，

，，即，從而，

橢圓的方程為：，：.

（2）設(shè)，，又的長成等差數(shù)列， ，

設(shè)，由解得，，：.

考點(diǎn)：直線與圓、直線與橢圓.