Question

（2008•如東縣三模）在等差數(shù)列{a_n}中，公差d≠0，且a₅=6，
（1）求a₄+a₆的值．
（2）當(dāng)a₃=3時(shí)，在數(shù)列{a_n}中是否存在一項(xiàng)a_m（m正整數(shù)），使得 a₃，a₅，a_m成等比數(shù)列，若存在，求m的值；若不存在，說明理由．
（3）若自然數(shù)n₁，n₂，n₃，…，n_t，…，（t為正整數(shù)）滿足5＜n₁＜n₂＜…＜n_t＜…，使得a₃，a₅，a_n1，…，a_nt，…成等比數(shù)列，求a₃的所有可能值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，易得a₄+a₆=2a₅=12；
（2）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，建立方程組解出首項(xiàng)a₁與公差d，得到an=

3

2

(n-1)，再由等比中項(xiàng)的定義建立關(guān)系式：a52=

a

3

am，轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的方程并解之可得m=9；
（3）由題意用等差數(shù)列通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)

a

2 5

=a3•an1，得[6+（n₁-5）d]（6-2d）=36解出d=3-

6

n1-5

，可得d∈Q．利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合題意算出ant=a5•(

a5

a3

)t，可得n_t關(guān)于d和t的表達(dá)式，再由n_t∈{6，7，8，9，10，…}對(duì)一切t∈Z⁺成立，可得

3

3-d

∈{2，3，4，5，…}．再設(shè)

3

3-d

=m，利用前面的關(guān)系式化簡(jiǎn)并結(jié)合二項(xiàng)定理得到

2m(mt-1)

m-1

∈Z恒成立，即可得到a₃的所有可能值．

解答：解：（1）∵在等差數(shù)列{a_n}中，公差d≠0，且a₅=6，
∴2a₅=a₄+a₆，結(jié)合a₅=6得a₄+a₆=12…（3分）
（2）在等差數(shù)列{a_n}中，公差d≠0，且a₅=6，a₃=3
則

a1+2d=3 a1+4d=6

⇒d=

3

2

，a1=0，
∴an=

3

2

(n-1)n∈N^*…（5分）
又∵a52=

a

3

am，可得36=3a_m，
∴12=

3

2

(m-1)，解之得m=9…（8分）
（3）∵a3=6-2d，an1=6+(n1-5)d
∴由a3，a5，an1成等比數(shù)列，得到

a

2 5

=a3•an1
即[6+（n₁-5）d]（6-2d）=36，
∴d=

3n1-21

n1-5

=3-

6

n1-5

，由此可得d∈Q…（14分）
又∵a3，a5，an1，…，ant，…成等比數(shù)列，∴ant=a5•(

a5

a3

)t=a5+(nt-5)•d
∴nt=5+

6( 3 3-d )t-6

d

∈{6，7，8，9，10，…}對(duì)一切t∈Z⁺成立，
即

3

3-d

∈{2，3，4，5，…}（*），
設(shè)

3

3-d

=m（m∈{2，3，4，5，…}），
∴d=3-

3

m

，得

6( 3 3-d )t+1-6

d

=

6mt+1-6

3- 3 m

=

2m(mt-1)

m-1

，
由二項(xiàng)式定理得

2m(mt-1)

m-1

∈Z恒成立
∴a3=6-2d=6-2(3-

3

m

)=

6

m

（m∈{2，3，4，5，…}）

點(diǎn)評(píng)：本題給出等差、等比數(shù)列模型，求通項(xiàng)公式和參數(shù)m的值，并討論滿足條件的項(xiàng)a₃所有可能值．著重考查了等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、整數(shù)解的討論和二項(xiàng)式定理等知識(shí)，屬于中檔題．