Question

已知數(shù)列{a_n}中,a₂=a+2(a為常數(shù)),S_n是{a_n}的前n項(xiàng)和,且S_n是na_n與na的等差中項(xiàng),

(1)求a₁,a₃;

(2)猜想a_n的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明;

(3)求證:以(a_n,)為坐標(biāo)的點(diǎn)P_n(n=1,2,…)都落在同一直線上.

Answer 1

(1)解:由已知得S_n=×n,?

當(dāng)n=1時(shí),S₁=a₁,?

∴2a₁=a₁+a.?

∴a₁=a.?

當(dāng)n=3時(shí),S₃=a₁+a₂+a₃,?

∴2(a₁+a₂+a₃)=3(a₃+a).?

∴2(a+a+2+a₃)=3(a₃+a).?

∴a₃=a+4.

(2)解：由a₁=a,a₂=a+2,a₃=a+4,…,猜想a_n=a+2(n-1),

證明:①當(dāng)n=1時(shí),左邊=a₁=a,右邊=a+2(1-1)=a,

∴當(dāng)n=1時(shí),等式成立.當(dāng)n=2時(shí),左邊=a₂=a+2,?

右邊=a+2(2-1)=a+2,?

∴當(dāng)n=2時(shí),等式成立.?

②假設(shè)n=k(k∈N^*,k≥2)時(shí),等式成立,即a_k=a+2(k-1)?,?

則當(dāng)n=k+1時(shí),a_k+1=S_k+1-S_k=(k+1)-k,?

∴2a_k+1=(a_k+1+a)(k+1)-(a_k+a)k.?

∴(k-1)a_k+1=ka_k-a.?

∵k≥2,?

∴a_k+1=a_k-.?

將a_k=a+2(k-1)代入,得?

a_k+1=［a+2(k-1)］-

==a+2［(k+1)-1］.?

∴當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立.由①②可知,對(duì)任何正整數(shù)n,等式a_n=a+2(n-1)都成立.

(3)證明:當(dāng)n≥2時(shí),a_n=a+2(n-1),?

∴S_n=×n=×n=(a+n-1)n.?

∴=a+n-1.?

∴(-1)-(-1)=n-1.?

又a_n-a₁=2(n-1),?

∴.

∴點(diǎn)P_n(n=1,2,3,…)都落在同一直線上.

溫馨提示

用遞推公式求出數(shù)列的前幾項(xiàng)并歸納猜想其通項(xiàng)公式或猜想相關(guān)結(jié)論，再用數(shù)學(xué)歸納法證明之,這是數(shù)學(xué)歸納法的重要應(yīng)用.