Question

已知集合A={x|x²+a≤|a+1|x,a∈R}.

(1)求A；

(2)若以a為首項，a為公比的等比數(shù)列的前n項和記為S_n，問是否存在a，使得對于任意的n∈N^*，均有S_n∈A，若存在，求a的范圍，若不存在，說明理由.

Answer 1

解：(1)由x²+a≤|a+1|x,a∈R得或

∴a＞1時，1≤x≤a;-1≤a≤1時,a≤x≤1;a＜-1時,-1≤x≤-a.                        

∴當a＞1時,A={x|1≤x≤a};當-1≤a≤1時,A={x|a≤x≤1};當a＜-1時,A={x|-1≤x≤-a}.

(2)①當a≥1時,A={x|a≤x≤1},而S₂=a+a²＞a,∴S₂A.                             

②當0＜a＜1時，A={x|a≤x≤1},而S_n=a+a²+…+aⁿ是關于n的遞增函數(shù),

且S_n=,∴S_n∈［a,).

對于任意的n∈N^*，S_n∈A只要a滿足0＜a≤為所求.

③當a＜-1時，A={x|-1≤x≤-a},S₁=aA,故不存在這樣的a，使S_n∈A.

④當a=-1時，A={x|-1≤x≤1},S_2n-1=-1,S_2n=0適合，∴a=-1為所求.

⑤當-1＜a＜0時，A={x|a≤x≤1},

∵S_2n+1=S_2n-1+a_2n+a_2n+1=S_2n-1+a²ⁿ+a²ⁿ⁺¹=S_2n-1+a²ⁿ(1+a)＞S_2n-1,

S_2n+2=S_2n+a_2n+1+a_2n+2=S_2n+a²ⁿ⁺¹+a²ⁿ⁺²=S_2n+a²ⁿ⁺¹(1+a)＜S_2n,

∴S_2n+1＞S_2n-1,S_2n+2＜S_2n,故S₁＜S₃＜…＜S_2n+1＜S_2n＜S_2n-2＜…＜S₄＜S₂.

∴要使S_n∈A,只需即-1＜a＜0.

綜上得-1≤a＜0或0＜a＜.