Question

4．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x²-2x，
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）畫(huà)出函數(shù)f（x）在R上的圖象（不要求列表），并寫(xiě)出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間（不用證明）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)函數(shù)奇偶性的對(duì)稱(chēng)性的性質(zhì)即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）作出函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行求解．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)x＜0，則-x＞0…（1分）
∴f（-x）=x²+2x（2分）
∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x）（3分）
∴f（-x）=x²+2x=-f（x），
即f（x）=-x²-2x，x＜0（4分）
又f（0）=0，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，}&{x≥0}\\{-{x}^{2}-2x，}&{x＜0}\end{array}\right.$（6分）
（Ⅱ）作出對(duì)應(yīng)的圖象如圖：
（9分）
單調(diào)遞增區(qū)間是：（-∞，-1]和[1，+∞）； （11分）
單調(diào)遞減區(qū)間是：（-1，1）； （12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)解析式以及函數(shù)單調(diào)性的判斷和求解，利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．