Question

已知{a_n}是首項(xiàng)為2，公比為

1

2

的等比數(shù)列，S_n為它的前n項(xiàng)和．
（1）用S_n表示S_n+1；
（2）是否存在自然數(shù)c和k，使得

Sk+1-c

Sk-c

＞2成立．

Answer 1

解（1）由Sn=4(1-

1

2n

)，得Sn+1=4(1-

1

2n+1

)=

1

2

Sn+2(n∈N)．
（2）要使

Sk+1-c

Sk-c

＞2，只要

c-( 3 2 Sk-2)

c-Sk

＜0．
因?yàn)?span mathtag="math" >Sk=4(1-

1

2k

)＜4，所以Sk-(

3

2

Sk-2)=2-

1

2

Sk＞0(k∈N)，
故只要

3

2

Sk-2＜c＜Sk(k∈N)．①
因?yàn)镾_k+1＞S_k（k∈N），所以

3

2

Sk-2≥

3

2

S1-2=1，
又S_k＜4，故要使①成立，c只能取2或3．
當(dāng)c=2時(shí)，因?yàn)镾₁=2，所以當(dāng)k=1時(shí)，c＜S_k不成立，從而①不成立．
因?yàn)?span mathtag="math" >

3

2

S2-2=

5

2

＞c，由S_k＜S_k+1（k∈N），得

3

2

Sk-2＜

3

2

Sk+1-2，所以當(dāng)k≥2時(shí)，

3

2

Sk-2＞c，從而①不成立．
當(dāng)c=3時(shí)，因?yàn)镾₁=2，S₂=3，
所以當(dāng)k=1，2時(shí)，c＜S_k不成立，從而①不成立．
因?yàn)?span mathtag="math" >

3

2

S3-2=

13

4

＞c，又

3

2

Sk-2＜

3

2

Sk+1-2，
所以當(dāng)k≥3時(shí)，

3

2

Sk-2＞c，從而①不成立．
故不存在自然數(shù)c、k，使

Sk+1-c

Sk-c

＞2成立．