Question

5．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當x＞0時，f（x）=|x-a|-a（a∈R）．若?x∈R，f（x+2016）＞f（x），則實數(shù)a的取值范圍是a＜504．

Answer 1

分析 函數(shù)y=f（x+2016）的圖象是將y=f（x）像左平移2016個單位得到的，要使任意的x∈R，恒有f（x+2016）＞f（x），只需f（x+2016）的圖象恒在f（x）的圖象上方，據(jù)此列出關(guān)于a的不等式解出來即可．

解答 解：當a＞0，x＞0時，該函數(shù)圖象過原點，關(guān)于x=a對稱，頂點為（a，-a），
結(jié)合該函數(shù)還是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱．
而函數(shù)y=f（x+2016）的圖象是將y=f（x）像左平移2016個單位得到的，
要使任意的x∈R，恒有f（x+2016）＞f（x），
只需f（x+2016）的圖象恒在f（x）的圖象上方，
所以只需y=f（x+2016）與x軸最右邊的交點在A（2a-2016，0）
在y=f（x）與x軸最左邊交點B（-2a，0）的左邊，
因此應該有2a-2016＜-2a，解得0＜a＜504．
a≤0時，x＞0，f（x）=x，函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（x）=x，
∴?x∈R，f（x+2016）＞f（x），
綜上所述，a＜504．
故答案為：a＜504．

點評 這道題是將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．