Question

已知數(shù)列{a_n}  滿足a_n+1=3a_n-4n+4，n∈N^*，且a₁=2．若b_n=a_n-2n+1，n∈N^*，
（1）求證：{b_n}為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}  的前n項和．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)a_n+1=3a_n-4n+4，n∈N^*得a_n+1-2（n+1）+1=3a_n-6n+3，從而b_n+1=3b_n（n∈N^*），根據(jù)等比數(shù)列的定義可得結(jié)論；
（2）先求出數(shù)列{a_n}的通項公式，然后將數(shù)列看成由等差數(shù)列和等比數(shù)列的和，利用分組求和法進行求和，從而可求出所求．
解答：解：（1）由a_n+1=3a_n-4n+4，n∈N^*得
a_n+1-2（n+1）+1=3a_n-6n+3又b_n=a_n-2n+1，n∈N^*，
故有b_n+1=3b_n（n∈N^*）則=3（n∈N^*）
∴{b_n}為等比數(shù)列；
（2）∵{b_n}為等比數(shù)列，且b₁=1，公比為3，
∴b_n=3^n-1
∴a_n=2n-1+3^n-1
數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=+=n²+
點評：本題主要考查了等比數(shù)列的判定，以及利用分組求和法，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．