Question

已知數列{a_n}的通項an=(n-

1

2

)•(

9

10

)n，n∈N^*．
（Ⅰ）求a₁，a₂；
（Ⅱ）判斷數列{a_n}的增減性，并說明理由；
（Ⅲ） 設b_n=a_n+1-a_n，求數列{

bn+1

bn

}的最大項和最小項．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在數列通項公式中直接取n=1，n=2求解；
（Ⅱ）由a_n+1-a_n得到關于n的函數表達式，由差式的符號得到n的取值范圍，從而得到數列的單調性；
（Ⅲ）求出數列b_n的通項，由

bn+1

bn

在不同區(qū)間上的單調性得到數列{c_n}在不同區(qū)間上的值域，則數列{

bn+1

bn

}的最大項和最小項可求．

解答：解：（Ⅰ）a₁=(1-

1

2

)×

9

10

=

1

2

×

9

10

=0.45，
a₂=(2-

1

2

)×(

9

10

)2=

3

2

×

81

100

=1.215；
（Ⅱ）由an+1-an=(n+0.5)•0.9n+1-(n-0.5)•0.9n
=0.9ⁿ（0.9n+0.45-n+0.5）=-0.1×0.9ⁿ×（n-9.5）．
則當1≤n≤9時，a_n+1-a_n＞0，數列{a_n}為遞增數列，
當n≥10時，a_n+1-a_n＜0，數列{a_n}為遞減數列；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，bn=an+1-an=-0.1×0.9n×(n-9.5)．
令cn=

bn+1

bn

，即求數列{c_n}的最大項和最小項．
則cn=

bn+1

bn

=0.9•

n-8.5

n-9.5

=0.9(1+

1

n-9.5

)．
則數列{c_n}在1≤n≤9時遞減，此時c₉≤c_n＜0.9，即-0.9≤c_n＜0.9；
數列{c_n}在n≥10時遞減，此時0.9＜c_n≤c₁₀，即0.9＜c_n≤2.7．
因此數列{c_n}的最大項為c₁₀=2.7，最小項為c₉=-0.9．

點評：本題考查了數列遞推式，考查了數列的函數特性，訓練了利用函數單調性求最值，是中檔題．