Question

7．已知cosα=$\frac{3}{5}$，cos（α-β）=$\frac{{7\sqrt{2}}}{10}$，且0＜β＜α＜$\frac{π}{2}$，那么β=（　�。�

• A． $\frac{π}{12}$
• B． $\frac{π}{6}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{π}{3}$

Answer 1

分析 由α和β的范圍，求出β-α的范圍，然后由cosα和cos（α-β）的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinα和sin（β-α）的值，然后由β=（β-α）+α，利用兩角和的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)后，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求出β的度數(shù)．

解答 解：由0＜α＜β＜$\frac{π}{2}$，得到0＜β-α＜$\frac{π}{2}$，又cosα=$\frac{3}{5}$，cos（α-β）=cos（β-α）=$\frac{{7\sqrt{2}}}{10}$，
所以sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\frac{4}{5}$，sin（β-α）=-sin（α-β）=-$\sqrt{1-co{s}^{2}（α-β）}$=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$，
則cosβ=cos[（β-α）+α]
=cos（β-α）cosα-sin（β-α）sinα
=$\frac{{7\sqrt{2}}}{10}$×$\frac{3}{5}$-（-$\frac{\sqrt{2}}{10}$）×$\frac{4}{5}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以β=$\frac{π}{4}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及兩角和的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)求值，是一道基礎(chǔ)題．做題時(shí)注意角度的變換，屬于基礎(chǔ)題．